Cho ba số \(a,b,c\)nguyên dương, nguyên tố cùng nh...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow c\left( a+b \right)=ab\Leftrightarrow ab-ac-bc=0\)

                        \(\Leftrightarrow ab-ac-bc+{{c}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow \left( a-c \right)\left( b-c \right)={{c}^{2}}\)

Nếu \(d\) là ước nguyên dương của \(a-c\) và \(b-c\) thì \({{c}^{2}}\vdots {{d}^{2}}\Rightarrow c\vdots d\)

Suy ra \(d\) là ước chung của \(a,b,c\). Mà \(a,b,c\) nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên \(d=1\)

Nên \(a-c\) và \(b-c\) không có ước lớn hơn 1, do đó \(\left( a-c \right)\left( b-c \right)\) là số chính phương và \(a-c\), \(b-c\) là hai số chính phương khác nhau.

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & a-c={{k}^{2}} \\ & b-c={{m}^{2}} \\\end{align} \right.\left( k,m\in N;k\ne m \right)\Rightarrow {{k}^{2}}{{m}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow c=km\)

\(\Rightarrow a+b=\left( a-c \right)+\left( b-c \right)+2c={{k}^{2}}+{{m}^{2}}+2km={{\left( k+m \right)}^{2}}\)

Vậy \(a+b\) là số chính phương