Cho phương trình \({x^4} - 2\left( {{m^2} + 2} \ri...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

+) Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

+) Phương trình \( \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc hai.

Phương trình \(\left( 1 \right)\)  có \(4\)  nghiệm \(x\)  phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có \(2\)  nghiệm \({t_1},\,\,{t_2} > 0\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right..\)

Giải chi tiết:

\({x^4} - 2\left( {{m^2} + 2} \right){x^2} + 5{m^2} + 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\),  phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2\left( {{m^2} + 2} \right)t + 5{m^2} + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {{m^2} + 2} \right)^2} - 1\left( {5{m^2} + 3} \right) = {m^4} + 4{m^2} + 4 - 5{m^2} - 3\\\,\,\,\,\,\, = {m^4} - {m^2} + 1 = \left[ {{{\left( {{m^2}} \right)}^2} - 2{m^2}\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right] + \frac{3}{4}\\\,\,\,\,\, = {\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall m\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\)  luôn có \(2\)  nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {t_1} + {t_2} = 2\left( {{m^2} + 2} \right) > 0\\P = {t_1}{t_2} = 5{m^2} + 3 > 0\end{array} \right.\,\,\forall m\) .

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\)  luôn có nghiệm \({t_1},\,\,{t_2}\) dương phân biệt \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt với mọi m.

+) Phương trình \(\left( 2 \right)\)  có \(2\)  nghiệm \({t_1},\,\,{t_2} > 0\) phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = {x^2} \Rightarrow {x_1} = \sqrt {{t_1}} ,\,\,{x_2} =  - \sqrt {{t_1}} \\{t_2} = {x^2} \Rightarrow {x_3} = \sqrt {{t_2}} ,\,\,{x_4} =  - \sqrt {{t_2}} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} + \frac{1}{{x_3^2}} + \frac{1}{{x_4^2}} = \frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_2}}} + \frac{1}{{{t_2}}} = \frac{2}{{{t_1}}} + \frac{2}{{{t_2}}} = \frac{{2\left( {{t_1} + {t_2}} \right)}}{{{t_1}{t_2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2S}}{P} = \frac{{2.2\left( {{m^2} + 2} \right)}}{{5{m^2} + 3}} = \frac{{4{m^2} + 8}}{{5{m^2} + 3}}.\end{array}\)

Chọn  B.