Cho các số nguyên dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thoản mã...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích, lập luận và đánh giá theo tổng \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\).

Giải chi tiết:

Nếu \({x^2} + {y^2}\) chia cho 3 khác số dư thì : \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 1\,\,\left( \bmod 3 \right)\,\,\left( 1 \right)\) .

Mà \(2{{z}^{2}}\equiv 0\,\,\,\left( \bmod 3 \right)\)  hoặc \(2{{z}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( \bmod 3 \right)\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2)  vô lí.

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2}\) chia cho 3 có cùng số dư \( \Rightarrow {x^2} - {y^2}\) chia hết cho 3.   (*)

Nếu \({x^2} + {y^2}\) chia cho 16 khác số dư thì : \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 1,\,\,4,\,\,9,\,\,0,\,\,5,\,\,10,\,\,13\,\,\left( \bmod 16 \right)\,\,\,\,\left( 3 \right)\) 

Mà \(2{{z}^{2}}\equiv 0,\,\,2,\,\,8\,\,\,\,\left( \bmod 16 \right)\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4 ) \(\Rightarrow \) vô lí.

\(\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\) chia cho 16 có cùng số dư \( \Rightarrow {x^2} - {y^2}\) chia hết cho 16 (**)

Từ (*) và (**) \( \Rightarrow {x^2} - {y^2}\) chia hết cho  .

Vậy \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}\) chia hết cho 48 (đpcm).