Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH. Kẻ đ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

b) Áp dụng tính chất đường phân giác và kết quả câu a) để chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

c) Chứng minh tam giác cân, áp dụng tính chất tam giác cân để chứng minh 2 đường thẳng song song.

d) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc, sau đó áp dụng tính chất bắc cầu và tính chất của tam giác cân để chứng minh yêu cầu của đề bài.

Giải chi tiết:

­a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) ta có:

\(\angle BHA = \angle AHC = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\)

\(\angle HAB = \angle HCA\) (cùng phụ góc \(\angle HAC\))

\( \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta CHA\;(g - g)\) (đpcm)

b) Vì \(\Delta AHB \sim \Delta CHA\) (chứng minh câu a)  nên \(\angle HBA = \angle HAC\) (cặp góc tương ứng)  (1)

Mà theo bài ta có:

\(\angle HBE = \frac{1}{2}\angle HBA\;\;\;(BK\) là phân giác của \(\angle ABC)\;\;\;\left( 2 \right)\)  

\(\angle HA{\rm{D}} = \frac{1}{2}\angle HAC\;\;\;(AD\) là phân giác của \(\angle HAC)\;\;\;\left( 3 \right)\)

Từ (1); (2); (3) ta có: \(\angle HBE = \angle HA{\rm{D}} = \angle EAF\)

Xét \(\Delta A{\rm{E}}F\) và \(\Delta BEH\) ta có:

            \(\angle HBE = \angle EAF\;\;\;\left( {cmt} \right)\)

            \(\angle HEB = \angle F{\rm{EA}}\) (2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta BEH\;\;\;\left( {g - g} \right)\)  (đpcm)

c) Ta có: \(\Delta AEF \sim \Delta BEH\) (cmt)

\( \Rightarrow \angle AFE = \angle BHE = {90^0}\) (các góc tương ứng)

\( \Rightarrow BF \bot AD = \left\{ F \right\}.\)

Xét \(\Delta ABD\) ta có: \(BF\) vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác

\( \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác cân tại \(B \Rightarrow BF\) là đường phân giác của tam giác.

\( \Rightarrow F\) là trung điểm của \(AD\) hay \(AF = FD.\)

Xét \(\Delta AKD\) ta có: \(KF\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác

\( \Rightarrow \Delta AKD\) là tam giác cân tại \(K.\)

\( \Rightarrow \angle KAD = \angle KDA\) (hai góc kề đáy)

\( \Rightarrow \angle KAD = \angle DAH\;\;\left( { = \angle KAD} \right)\)

Mà hai góc này là hai góc so le trong

\( \Rightarrow KD//AH\;\;\left( {dpcm} \right).\) 

d) Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BAC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle B\;\;chung\\\angle BHA = \angle BAC = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHA \sim \Delta BAC\;\;\;\left( {g - g} \right)\end{array}\): chung

\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)         (các cặp cạnh tương ứng)      (*)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta BAK\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle BHE = \angle BAK = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\\\angle HBE = \angle ABK\;\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHE \sim \Delta BAK\;\;\;\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{HE}}{{AK}}\)  (các cặp cạnh tương ứng)

Mà \(\Delta AKD\) cân tại \(K\;\;\left( {cm\;c)} \right) \Rightarrow KA = KD\)

\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{HE}}{{AK}} = \frac{{EH}}{{KD}}\)      (**)

Từ (*) và (**) ta có: \(\frac{{EH}}{{KD}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{EH}}{{AB}} = \frac{{KD}}{{BC}}\) (đpcm).