Xác định m để phương trình:  \(\left( {2m - 1} \ri...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Giải phương trình theo tham số m

- Biện luận theo m các nghiệm; tìm dữ kiện để nghiệm thõa mãn \(x \in \left( {\frac{\pi }{2}\;;\;\pi } \right).\)

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi \,(k \in \mathbb{Z}).\)

Với \(m = \frac{1}{2}\), phương trình vô nghiệm.

Với \(m \ne \frac{1}{2}\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {2m - 1} \right)\tan \frac{x}{2} + m = 0\\ \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \frac{{ - m}}{{2m - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \arctan \frac{{ - m}}{{2m - 1}} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = 2.\arctan \frac{{ - m}}{{2m - 1}} + k2\pi \end{array}\)

Để có nghiệm \(x \in \left( {\frac{\pi }{2}\;;\;\pi } \right)\) thì tồn tại \(m,\,\,k\)  sao cho: \(\frac{\pi }{2} < 2\arctan \frac{{ - m}}{{2m - 1}} + k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - k\pi  < \arctan \frac{{ - m}}{{2m - 1}} < \frac{\pi }{2} - k\pi .\)

Nếu ta chọn \(\alpha  = \arctan \frac{{ - m}}{{2m - 1}} \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\)  thì  \(k = 0.\)

Có: \(2\arctan 1 = \frac{\pi }{2} < 2\arctan \frac{{ - m}}{{2m - 1}} < \pi  \Leftrightarrow \frac{{ - m}}{{2m - 1}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{1 - 3m}}{{2m - 1}} > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} < m < \frac{1}{2} \Leftrightarrow m \in \left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right)\)

Chọn A.