Giải phương trình\({\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - {\rm{s...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Công thức \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

+) Kết hợp sử dụng hằng đẳng thức:

 \({\cos ^3}x - {\sin ^3}x = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + \cos x + \sin x + {{\sin }^2}x} \right) = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x} \right).\)  

+) Phân tích biểu thức thành nhân tử.

+) Sử dụng công thức: \(\cos x - \sin x = \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\cos ^3}x - {\sin ^3}x = \cos 2x \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x} \right) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x} \right) = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x - \sin x - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x - \sin x = 0{\rm{ }}(i)\\1 + \sin x\cos x - \sin x - \cos x = 0{\rm{ }}\left( {ii} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Giải (i):  \(\left( i \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + l\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + l\pi \;\;\;\left( {l \in Z} \right).\)

+) Giải (ii). Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\;\;\;\;\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = 1 + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\\ \Rightarrow \left( {ii} \right) \Leftrightarrow 1 + \frac{{{t^2} - 1}}{2} - t = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + m2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k,\;m \in Z} \right).\end{array}\)

Chọn C