Cho biểu thức \(A = \frac{{x - 1}}{{\left( {x + \s...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Sử dụng hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử và rút gọn.

2. \(f\left( x \right).g\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\\g\left( x \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

1. Rút gọn biểu thức A

ĐK \(x > 0\). 

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x \left( {x\sqrt x  + 1} \right)}}\\A = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}.\sqrt x \left( {x\sqrt x  + 1} \right)\\A = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x\sqrt x  + 1} \right)}}{{x - \sqrt x  + 1}}\\A = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}{{x - \sqrt x  + 1}}\\A = \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) = x - 1\end{array}\)

Vậy \(A = x - 1\).

2. Ta có :

 \(\begin{array}{l}A\left( {\sqrt x  + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) > 0\\Do\,\,\sqrt x  + 1 > 0 \Rightarrow x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\end{array}\)

Vậy \(x > 1.\)