Cho ph­ương trình:\(m{\sin ^3}x + (3m - 4){\sin ^2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét các khả năng:

- Nếu \(m = 0\), giải phương trình tìm được nghiệm của phương trình.

- Nếu \(m \ne 0\), ta có \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) và đặt \(\tan x = t\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

- Với  \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]\) thì \(t \in \left( { - \infty ;0} \right]\)

- Biện luận phương trình đại số ẩn t tham số m

Giải chi tiết:

Xét \(m = 0\), phương trình:

\(\begin{array}{l} - 4{\sin ^2}x\cos x - 7\sin x{\cos ^2}x - 3{\cos ^3}x = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {4{{\sin }^2}x + 7\sin x\cos x + 3{{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {4{{\sin }^2}x + 4\sin x.\cos x + 3\sin x.\cos x + 3{{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {4\sin x + 3\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x + \cos x = 0\\4\sin x + 3\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\4\tan x + 3 = 0\;\;\;\left( {\cos x \ne 0} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\\tan x = \frac{{ - 3}}{4}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{4} + l\pi \\x = \arctan \left( { - \frac{3}{4}} \right) + m\pi \end{array} \right.\left( {k,\;l,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chỉ cho hai nghiệm \( - \frac{\pi }{2};\, - \arctan \left( {\frac{3}{4}} \right)\) thõa mãn. Vậy \(m = 0\) chưa thõa mãn yêu cầu.

Xét: \(m \ne 0\).

Ta có \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\) và đặt \(\tan x = t\). Phương trình:

\(\begin{array}{l}m{t^3} + \left( {3m - 4} \right){t^2} + \left( {3m - 7} \right)t + \left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left[ {m{t^2} + 2\left( {m - 2} \right)t + m - 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\m{t^2} + 2\left( {m - 2} \right)t + m - 3 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]\)thì \(t \in \left( { - \infty ;0} \right]\); vậy nên để phương trình có nghiệm x thõa mãn điều kiện tương đương  với phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt không dương và khác \( - 1\).(**)

Đặt \(f\left( t \right) = m{t^2} + 2\left( {m - 2} \right)t + m - 3\). Điều kiện (**) tương đương với:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) \ne 0\\\Delta ' > 0\\P \ge 0\\\frac{S}{2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - m\left( {m - 3} \right) > 0\\\frac{{m - 3}}{m} \ge 0\\\frac{{ - \left( {m - 2} \right)}}{m} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 3\\m < 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\3 \le m < 4\end{array} \right.\)

Vậy chỉ có \(m = 3\) nguyên dương thõa mãn.

Chọn B.