Cho khai triển \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Số hạng tổng quát của khai triển là \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

+) Từ đề bài ta có: \({a_k} = {a_{k + 1}}\) biểu diễn \(k\) theo \(n.\)

+) Kết hợp với điều kiện nguyên để tìm \(k.\)

Giải chi tiết:

Ta có \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{2^k}{x^k}} \), suy ra \({a_k} = C_n^k{2^k}\) với  \(k = 0;\;1;\;2;\;3;\;....;\;n\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_k} = {a_{k + 1}} \Leftrightarrow C_n^k{2^k} = C_n^{k + 1}{2^{k + 1}} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = 2.\frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {n - k} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow 2n - 2k = k + 1 \Leftrightarrow k = \frac{{2n - 1}}{3}\end{array}\)

Vì \(0 \le k \le n - 1 \Rightarrow 0 \le \frac{{2n - 1}}{3} \le n - 1 \Leftrightarrow n \ge 2.\)

Nếu \(n = 3m,\;n \in N\) thì  \(k = \frac{{2.3m - 1}}{3} = 2m - \frac{1}{3} \notin N\).

Nếu \(n = 3m + 1,\;m \in N\) thì  \(k = \frac{{2.\left( {3m + 1} \right) - 1}}{3} = 2m + \frac{1}{3} \notin N\).

Nếu \(n = 3m + 2,\;m \in N\)  thì  \(k = \frac{{2.\left( {3m + 2} \right) - 1}}{3} = 2m + 1 \in N\).

Nên với các số \(n = 3m + 2,\;m \in N\)  thì sẽ cho tồn tại \(k\;\;\left( {0 \le k \le n - 1} \right)\)  thỏa mãn \({a_k} = {a_{k + 1}}\).

Vì \(2 \le n \le 2018\) và \(n \in N\) nên  \(2 \le 3m + 2 \le 2018 \Leftrightarrow 0 \le m \le 672\)  và \(m \in N\).

Do đó, có \(673\) số giá trị nguyên của \(n\) với \(n \le 2018\) sao cho tồn tại \(k\) \(\left( {0 \le k \le n - 1} \right)\) thỏa mãn \({a_k} = {a_{k + 1}}\).

Chọn B