Tính các tổng sau:\({S_3} = 2.1.C_n^2 + 3.2C_n^3 +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để giải quyết bài toán ta cần biến đổi công thức tổng quát của bài toán là \(k(k - 1)C_n^k\)

Từ đó tính tổng biểu thức.

Kiến thức cần nhớ \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\)

Giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}k(k - 1)C_n^k = k(k - 1)\frac{{n!}}{{(k)!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k - 2)!(n - k)!}}\\ = \frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{(k - 2)!\left[ {\left( {n - 2} \right) - \left( {k - 2} \right)} \right]!}} = n(n - 1)C_{n - 2}^{k - 2}\\ \Rightarrow {S_3} = 2.1.C_n^2 + 3.2C_n^3 + 4.3C_n^4 + .... + n\left( {n - 1} \right)C_n^n\\ = n(n - 1)\sum\limits_{k = 2}^n {C_{n - 2}^{k - 2}}  = n(n - 1)\left( {C_{n - 2}^0 + C_{n - 2}^1 + ... + C_{n - 2}^{n - 2}} \right)\\ = n\left( {n - 1} \right){\left( {1 + 1} \right)^{n - 2}} = n(n - 1){2^{n - 2}}.\end{array}\)

Chọn A