Cho hình phẳng \(\left( D \right)\) giới hạn bởi c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho hai hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\)và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\), \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)và hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) khi quay quanh trục Ox là: \(V = \;\pi \int_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \)

Giải chi tiết:

Giải phương trình: \(x - \pi  = \sin \,x \Leftrightarrow \sin \,x - x + \pi  = 0\) (1)

Xét hàm số  \(f\left( x \right) = \sin \,x - x + \pi  \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x - 1 \le 0,\,\,\forall x \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình  (1) có tối đa 1 nghiệm. Mà \(f\left( \pi  \right) = 0\,\, \Rightarrow x = \pi \) là nghiệm duy nhất của (1).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:

\(\begin{array}{l}V = \;\pi \int_0^\pi  {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {x - \pi } \right)}^2}} \right|dx}  =  - \;\pi \int_0^\pi  {\left( {{{\sin }^2}x - {{\left( {x - \pi } \right)}^2}} \right)dx} \\ =  - \;\pi \int_0^\pi  {\left( {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} - {{\left( {x - \pi } \right)}^2}} \right)dx}  =  - \pi \left. {\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x - \dfrac{{{{\left( {x - \pi } \right)}^3}}}{3}} \right)} \right|_0^\pi \\ =  - \pi .\dfrac{1}{2} + \pi \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{{{\pi ^3}}}{3}} \right) = \dfrac{{{\pi ^4}}}{3}\end{array}\)

Mà \(V = p{\pi ^4}\,\,\left( {p \in \mathbb{Q}} \right) \Rightarrow p = \dfrac{1}{3} \Rightarrow 24p = 8\).

Chọn: A