Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

+) Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right)\).

+) Lập BBT của hàm số \(y = g\left( x \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m\).

Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow g\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} \ge m\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right)\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\) ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

BBT:

Từ BBT ta có \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) =  - 1\).

\( \Rightarrow m \le  - 1 \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 1} \right]\).

Chọn D.