Cho hai đa thức\(\begin{array}{l}P\left( x \right)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thu gọn đa thức. Để thu gọn đa thức cộng trừ các hạng tử đồng dạng, rồi sắp xếp các hạng tử đồng dạng theo sự giảm dần của biến.

b) Để Cộng, trừ hai đa thức, ta thực hiện như sau:
Bước 1: Viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng.
Bước 2: Viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại.
Bước 3: Thu gọn các hạng tử đồng dạng.

Chú ý: Nếu là phép cộng ta thực hiện bước 1 và bước 3, bỏ qua bước 2.

            Nếu là phép trừ, ta thực hiện đầy đủ cả ba bước.

c) Giải phương trình: \(P\left( x \right) + Q\left( x \right) = 0\) 

Phương trình không có nghiệm suy ra  không có nghiệm.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,P\left( x \right)\,\,\, = 1 + 3{x^4} + 2{x^2} + {x^4} + {x^3} + 5{x^2} + 3{x^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {3{x^4} + {x^4}} \right) + \left( {{x^3} + 3{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} + 5{x^2}} \right) + 1\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,4{x^4} + 4{x^3} + 7{x^2} + 1\,\,\,\,\\Q\left( x \right) =  - 4{x^4} - 2{x^2} - 4{x^3} + 2x - 4{x^2} - x - \frac{1}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 4{x^4} - 4{x^3} + \left( { - 2{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( {2x - x} \right) - \frac{1}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 4{x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} + x - \frac{1}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,P\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,4{x^4} + 4{x^3} + 7{x^2} + 1\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,Q\left( x \right) = \, - 4{x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} + x - \frac{1}{4}\\P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( {4{x^4} - 4{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( {7{x^2} - 6{x^2}} \right) + x - \frac{1}{4} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{x^2} + x + \frac{3}{4}\\P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {4{x^4} - \left( { - 4{x^4}} \right)} \right) + \left( {4{x^3} - \left( { - 4{x^3}} \right)} \right) + \left( {7{x^2} - \left( { - 6{x^2}} \right)} \right) - x + \frac{1}{4} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8{x^4} + 8{x^3} + 13{x^2} - x + \frac{5}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\,P\left( x \right) + Q\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \,{x^2} + x + \frac{3}{4} = \left( {{x^2} + 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{2}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\forall x\end{array}\)

Vậy \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\) luôn không có nghiệm.