Cho \(x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}},\left( {x,y,a,b > 0} \right)\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\).

Giải chi tiết:

\(P = \frac{{{{\sin }^4}x}}{y} + \frac{{{{\cos }^4}y}}{x} \ge \frac{{{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}y} \right)}^2}}}{{x + y}} \ge \frac{1}{{x + y}}\) (1)

Ta có: \(\cos 2x + \cos 2y + 2\sin \left( {x + y} \right) = 2 \Leftrightarrow 2\cos \left( {x + y} \right).\cos \left( {x - y} \right) + 2\sin \left( {x + y} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + y} \right).\cos \left( {x - y} \right) = 1 - \sin \left( {x + y} \right)\)

Mà \(1 - \sin \left( {x + y} \right) \ge 0,\,\,\forall x,y\); \(\cos \left( {x - y} \right) > 0,\,\,\forall x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\,\, \Rightarrow \)\(\cos \left( {x + y} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow 0 < x + y \le \frac{\pi }{2}\,\, \Rightarrow \frac{1}{{x + y}} \ge \frac{2}{\pi }\) (2)

Từ (1), (2), suy ra: \(P \ge \frac{2}{\pi },\forall x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\,\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{\sin }^2}x}}{y} = \frac{{{{\cos }^2}y}}{x}\\{\sin ^2}x + {\cos ^2}y = 1\\x + y = \frac{\pi }{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{\pi }{4}\)

Vậy \({P_{\min }} = \frac{2}{\pi }\) khi và chỉ khi \(x = y = \frac{\pi }{4}\).

Chọn: B