Cho một góc vuông \(xOy\). Trên tia \(Ox\) có điểm...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Các tam giác bằng nhau và các yếu tố cố định.

Giải chi tiết:

Phần thuận:

Vẽ \(CH \bot Ox\,\,\left( {H \in Ox} \right)\), \(CK \bot Oy\,\,\left( {K \in Oy} \right)\).

Xét \(\Delta CAH\) có: \(\angle CHA = {90^0}\) và \(\Delta CBK\) có \(\angle CKB = {90^0}\) có:

\(CA = BC\) (do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\)).

\(\angle ACH = \angle BCK\) (hai góc cùng phụ với \(\angle ACK\)).

Do đó \(\Delta CAH = \Delta CBK\) (cạnh huyền -góc nhọn). Suy ra \(CH = CK\).

\(CH = CK\) và \(xOy\) cố định do đó \(C\) thuộc đường thẳng cố định là tia phân giác \(Oz\) của góc vuông \(xOy\).

Khi \(B \equiv O\) thì \(C \equiv {C_1}\), \({C_1}\) thuộc tia phân giác \(Oz\) và \(\Delta {C_1}OA\) vuông cân tại \({C_1}\).

Khi \(B\) chạy xa vô tận trên tia \(Oy\) thì \(C\) chạy xa vô tận trên tia \(Oz\).

Vậy C chuyển động trên tia \({C_1}z\).

Phần đảo:

Lấy \(C\) bất kì thuộc tia \({C_1}z\).

Vẽ đường thẳng vuông góc với \(CA\) tại \(C\) cắt tia \(Oy\) tại \(B\).

Vẽ \(CH \bot Ox\,\,\left( {H \in Ox} \right)\), \(CK \bot Oy\,\,\left( {K \in Oy} \right)\). Ta có \(CH = CK\), \(\angle KCH = {90^0}\).

Xét \(\Delta CAH\) và \(\Delta CBK\) có: \(\angle CHA = \angle BKC = {90^0}\), \(CH = CK\), \(\angle ACH = \angle BCK\) (cùng phụ với \(\angle ACK\))

Do đó \(\Delta CAH = \Delta CBK\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow CA = CB\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(CA = CB\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\).

Kết luận: Tập hợp các điểm \(C\) là trên tia \({C_1}z\) của tia phân giác \(Oz\) của góc \(xOy\).