Tìm bộ ba số nguyên không âm $x,\,\,y,\,\,z$ thỏ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Triệt tiêu $x$, đưa phương trình về dạng ước số.

Giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 54 = 2{y^2} + 4{z^2}\\5{x^2} + 74 = 3{y^2} + 7{z^2}\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{x^2} + 270 = 10{y^2} + 20{z^2}\\15{x^2} + 222 = 9{y^2} + 21{z^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {y^2} - {z^2} = 48$.

$\Leftrightarrow \left( {y - z} \right)\left( {y + z} \right) = {2^4}.3$.

Do $y,\,\,z$ là hai số nguyên không âm và $y > z \Rightarrow 0 < y - z < y + z$.

Ta có: ${y^2} - {z^2} = 48$ chẵn nên $y,\,\,z$ cùng tính chẵn lẻ nên $y - z$ và $y + z$ là hai số chẵn.

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}y - z = 6\\y + z = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 7\\z = 1\end{array} \right.$.

Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được $x = 4$ ($x \ne  - 4$ vì $x$ không âm).

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}y - z = 2\\y + z = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 13\\z = 11\end{array} \right.$.

Thay vào $\left( 1 \right)$ tính được $x = 16$ ($x \ne  - 16$ vì $x$ không âm).

TH3: $\left\{ \begin{array}{l}y - z = 4\\y + z = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8\\z = 4\end{array} \right.$.

Thay vào $\left( 1 \right)$ tính được $x =  \pm \sqrt {46}$ (loại vì $x$ nguyên).

Do đó $x = 4,\,\,y = 7,\,\,z = 1$ hoặc $x = 16,\,\,y = 13,\,\,z = 11$.

Mà để tổng $x + y + z$ nhỏ nhất thì $x = 4,\,\,y = 7,\,\,z = 1$.

Vậy $\left( {x;y;z} \right) = \left( {4;7;1} \right)$.

Chọn C.