Tìm bộ ba số nguyên không âm \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Triệt tiêu \(x\), đưa phương trình về dạng ước số.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 54 = 2{y^2} + 4{z^2}\\5{x^2} + 74 = 3{y^2} + 7{z^2}\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{x^2} + 270 = 10{y^2} + 20{z^2}\\15{x^2} + 222 = 9{y^2} + 21{z^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {y^2} - {z^2} = 48\).

\( \Leftrightarrow \left( {y - z} \right)\left( {y + z} \right) = {2^4}.3\).

Do \(y,\,\,z\) là hai số nguyên không âm và \(y > z \Rightarrow 0 < y - z < y + z\).

Ta có: \({y^2} - {z^2} = 48\) chẵn nên \(y,\,\,z\) cùng tính chẵn lẻ nên \(y - z\) và \(y + z\) là hai số chẵn.

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}y - z = 6\\y + z = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 7\\z = 1\end{array} \right.\).

Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được \(x = 4\) (\(x \ne  - 4\) vì \(x\) không âm).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}y - z = 2\\y + z = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 13\\z = 11\end{array} \right.\).

Thay vào \(\left( 1 \right)\) tính được \(x = 16\) (\(x \ne  - 16\) vì \(x\) không âm).

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}y - z = 4\\y + z = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8\\z = 4\end{array} \right.\).

Thay vào \(\left( 1 \right)\) tính được \(x =  \pm \sqrt {46} \) (loại vì \(x\) nguyên).

Do đó \(x = 4,\,\,y = 7,\,\,z = 1\) hoặc \(x = 16,\,\,y = 13,\,\,z = 11\).

Mà để tổng \(x + y + z\) nhỏ nhất thì \(x = 4,\,\,y = 7,\,\,z = 1\).

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {4;7;1} \right)\).

Chọn C.