Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 10\\x + y + xy = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 10\\2x + 2y + 2xy = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 10\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + y + xy = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = u\\xy = v\end{array} \right.\,\,\left( {{u^2} \ge 4v} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2} - 2v = 10\\u + v = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\{u^2} - 2\left( {7 - u} \right) = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\{u^2} + 2u - 24 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 7 - u\\\left[ \begin{array}{l}u = 4\\u =  - 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 4\\v = 3\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {tm\,\,{u^2} \ge 4v} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}u =  - 6\\v = 13\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm\,\,\,{u^2} \ge 4v} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 4\\v = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\xy = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó \(x,\,\,y\) là hai nghiệm của phương trình: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(S = \left\{ {\left( {1;\,\,3} \right),\,\,\,\left( {3;\,\,1} \right)} \right\}.\)

Chọn D.