Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 40cm,\) đường phân...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(HD\).

- Gọi \(E\) là giao điểm của \(BC\) và đường phân giác ngoài của góc \(A\). Tính \(DE\).

- Sử dụng tính chất đường phân giác \(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{EB}}{{EC}}\), biểu diễn tất cả các cạnh theo \(DB\).

- Giải phương trình tìm \(DB\), từ đó tính được \(DC\).

Giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \(AHD\) vuông tại \(H:\)

\(\begin{array}{l}A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} \Rightarrow {45^2} = {36^2} + H{D^2}\\ \Rightarrow H{D^2} = 729 \Rightarrow HD = 27\,\,\left( {cm} \right).\end{array}\)

Gọi \(E\) là giao điểm của \(BC\) và đường phân giác ngoài của góc \(A\). Ta có: \(AE \bot AD.\)

Xét tam giác \(ADE\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH,\) ta có:

\(A{D^2} = DE.DH \Rightarrow DE = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH}} = \dfrac{{{{45}^2}}}{{27}} = 75\,\,\,\left( {cm} \right).\)

Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có:

\(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{EB}}{{EC}} \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{75 - DB}}{{75 + DC}}.\)

Lại có: \(DB + DC = BC = 40 \Rightarrow DC = 40 - DB.\)

Do đó: \(\dfrac{{DB}}{{40 - DB}} = \dfrac{{75 - DB}}{{75 + 40 - DB}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow DB.\left( {115 - DB} \right) = \left( {40 - DB} \right)\left( {75 - DB} \right)\\ \Leftrightarrow 115DB - D{B^2} = 3000 - 40DB - 75DB + D{B^2}\\ \Leftrightarrow 2D{B^2} - 230DB + 3000 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}DB = 100\\DB = 15\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(DB < BC = 40\) nên \(DB = 15\,\,\left( {cm} \right)\).

Vậy \(DB = 15cm,\,\,DC = 25cm.\)

Chọn A.