Cho hình chóp tam gics đều S.ABC có đáy ABC là ta...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+Xác định trục đường tròn ngoại tiếp của mặt phẳng đáy

+Xác định trục đường tròn ngoại tiếp của một mặt bên (Chọn mặt là tam giác đặc biệt)

+Tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp là giao của hai đường thẳng vừa xác định, từ đó tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giải chi tiết:

Do D đối xứng với C qua B nên có BC=DC=AC suy ra tam giác ABD là tam giác vuông tại A.

Kẻ đường thẳng d qua C vuông góc với đáy, đường thẳng này là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABD.

Tam giác SAB cân tại S, gọi M là trung điểm AB, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB \(\Rightarrow H\in AM;SM=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}\)

\(SH=\frac{AB.SA.SB}{4.{{S}_{SAB}}}=\frac{{{\left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.a}{4.\frac{1}{2}.a.AM}=\frac{4a}{\sqrt{39}}\)

Trong (SAC) dựng \(HI\bot SM\left( I\in d \right)(1)\) , mà \(\left\{ \begin{align} & AB\bot SM \\ & AB\bot MC \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SMC \right)\Rightarrow AB\bot HI(2)\)

Từ (1), (2) suy ra\(HI\bot \left( SAB \right)\) , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABD

Gọi \(Q=MS\cap CI\), xét tam giác SCM có

\(\frac{SM}{QM}=\frac{MG}{MC}=\frac{1}{3}\Rightarrow QM=3SM=3.\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{39}}{2}\)

\(\Rightarrow QH=QM-MS+HS=\frac{a\sqrt{39}}{2}-\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}+\frac{4a}{\sqrt{39}}=\frac{17a}{\sqrt{39}}\)

\(QC=\sqrt{Q{{M}^{2}}-M{{C}^{2}}}=3a\)

Xét:\(\Delta QHI\sim \Delta QCM\Rightarrow \frac{HI}{CM}=\frac{HQ}{QC}\Rightarrow HI=\frac{HQ.CM}{QC}=\frac{17a}{6\sqrt{13}}\) \(\Rightarrow R=SI=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{S}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{17}}{6\sqrt{13}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4a}{\sqrt{39}} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{37}}{6}\)

Chọn C