Giải phương trình \({\cos ^3}x + {\sin ^3}x = 2\le...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{5}}x\).

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó  \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \sin x =  \pm 1\)

Thay \(\sin x = 1\) vào phương trình ta có: \(0 + 1 = 2\left( {0 + 1} \right) \Leftrightarrow 1 = 2\,\,\left( {Vô \, lý} \right)\)

Thay \(\sin x =  - 1\) vào phương trình ta có:\(0 - 1 = 2\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow  - 1 =  - 2\,\,\left( {Vô \, lý} \right)\)

\( \Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)  không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\cos^5x\) ta được:

\(\eqalign{ & {1 \over {{{\cos }^2}x}} + {{{{\sin }^3}x} \over {{{\cos }^3}x{{\cos }^2}x}} = 2\left( {1 + {{{{\sin }^5}x} \over {{{\cos }^5}x}}} \right) \cr & \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 2 + 2{\tan ^5}x \Leftrightarrow {\tan ^5}x - {\tan ^3}x - {\tan ^2}x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\tan ^3}x\left( {{{\tan }^2}x - 1} \right) - \left( {{{\tan }^2}x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{{\tan }^2}x - 1} \right)\left( {{{\tan }^3}x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{\tan x = 1 \hfill \cr \tan x = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = - {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2}\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Chọn B.