Hình phẳng \(C\)  giới hạn bởi các đường \(\left(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số (P) tại điểm M(1 ; 5) là : \(y=y'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+5\)

Giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm các đường giới hạn.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Giải chi tiết:

Ta có \(y'=2x+2\Rightarrow y'\left( 1 \right)=4\) .

Khi đó tiếp tuyến của parabol \(\left( P \right)\) tại \(M\left( 1;5 \right)\) có phương trình là \(\left( d \right):y=4\left( x-1 \right)+5=4x+1\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \({{x}^{2}}+2x+2=4x+1\Leftrightarrow x=1.\)

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left| {{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}^{2}}-{{\left( 4x+1 \right)}^{2}} \right|\text{d}x}.\)

\(\begin{array}{l} = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} + 4{x^3} - 8{x^2} + 3} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} + 4{x^3} - 8{x^2} + 3} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} + {x^4} - \frac{{8{x^3}}}{3} + 3x} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{{23\pi }}{{15}}.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 23\\b = 15\end{array} \right. \Rightarrow S = a - b = 23 - 15 = 8.\end{array}\)

Chọn D.