Cho tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{{x + \ln x}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\) thì ta đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = x + \ln x \hfill \cr   {\rm{d}}v = {{{\rm{d}}x} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {{x + 1} \over x}\,{\rm{d}}x \hfill \cr   v =  - {1 \over {2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó \(I = \left. { - {{x + \ln x} \over {2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {{{x + 1} \over x}.{1 \over {2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} .\)

\( =  - {{2 + \ln 2} \over {18}} + {1 \over 8} + {1 \over 2}\int\limits_1^2 {{{{\rm{d}}x} \over {x\left( {x + 1} \right)}}}  =  - {{2 + \ln 2} \over {18}} + {1 \over 8} + {1 \over 2}\int\limits_1^2 {\left( {{1 \over x} - {1 \over {x + 1}}} \right){\rm{d}}x} .\)

\(\eqalign{  &  =  - {{2 + \ln 2} \over {18}} + {1 \over 8} + {1 \over 2}\left. {\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2  \cr   &  = {1 \over {72}} - {1 \over {18}}\ln 2 + {1 \over 2}\left( {\ln 2 - \ln 3 + \ln 2} \right)  \cr   &  = {1 \over {72}} + {{17} \over {18}}\ln 2 - {1 \over 2}\ln 3 = a + b.\ln 2 - c.\ln 3. \cr} \)

Vậy \(\left\{ \matrix{  a = {1 \over {72}} \hfill \cr   b = {{17} \over {18}} \hfill \cr   c = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \,{c \over a} = {1 \over 2}:{1 \over {72}} = 36.\)

Chọn D.