Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’

+) Dựng mặt phẳng (P) chứa d và (P)//d’

+) Khi đó \(d\left( d,{d}' \right)=d\left( {d}',\left( P \right) \right)=d\left( M,\left( P \right) \right)\) với M là điểm bất kì thuộc d.

Sau đó sử dụng công thức đưa điểm để đưa về các điểm dễ tính khoảng cách hơn.

Giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm \(B{B}'\)

Khi đó \({B}'C\,\text{//}\,\left( AMN \right)\) \(\Rightarrow d\left( {B}'C;AM \right)=d\left( C;\left( AMN \right) \right)\)

Mà \(\frac{d\left( C;\left( AMN \right) \right)}{d\left( B;\left( AMN \right) \right)}=\frac{CM}{BM}=1\Rightarrow d\left( C;\left( AMN \right) \right)=d\left( B;\left( AMN \right) \right)\)

Ta có : \(\frac{1}{{{d}^{2}}\left( B;\left( AMN \right) \right)}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{B{{M}^{2}}}+\frac{1}{B{{N}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{\frac{A{{B}^{2}}}{4}}+\frac{1}{\frac{A{{{{A}'}}^{2}}}{4}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{\frac{{{a}^{2}}}{4}}+\frac{1}{\frac{{{a}^{2}}}{2}}=\frac{7}{{{a}^{2}}}\)

\(\Rightarrow d\left( {B}'C;AM \right)=d\left( B;\left( AMN \right) \right)=\frac{a\sqrt{7}}{7}\)

Chọn C.