Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC l...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giả sử mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt hình chóp theo một thiết diện là tam giác ADE.

\(\begin{align} & \frac{{{V}_{S.ADE}}}{{{V}_{S.ACB}}}=\frac{SD}{SC}.\frac{SE}{SB}\Rightarrow {{V}_{S.ADE}} \\  & {{V}_{S.ADE}}=\frac{1}{3}SD.{{S}_{ADE}}\Leftrightarrow {{S}_{ADE}} \\ \end{align}\)

Giải chi tiết:

Trong (SAC) qua A kẻ \(AD\bot SC\,\,\left( D\in SC \right)\), trong (SBC) qua D kẻ \(DE\bot SC\,\,\left( E\in SB \right)\).  Khi đó mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt hình chóp theo một thiết diện là tam giác ADE.

Tam giác ABC vuông cân tại B nên \(AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

Xét tam giác vuông SAC: \(\frac{SD}{SC}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{1}{3}\)

Xét tam giác vuông SAB: \(\frac{SE}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.ADE}}}{{{V}_{S.ACB}}}=\frac{SD}{SC}.\frac{SE}{SB}=\frac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{S.ADE}}=\frac{1}{6}{{V}_{S.ACB}}=\frac{1}{6}.\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}BA.BC=\frac{{{a}^{3}}}{36}\)

Mà \(SC\bot \left( ADE \right)\Rightarrow {{V}_{S.ADE}}=\frac{1}{3}SD.{{S}_{ADE}}\Rightarrow {{S}_{ADE}}=\frac{3{{V}_{S.ADE}}}{SD}=\frac{3{{V}_{S.ADE}}}{\frac{1}{3}SC}=\frac{9{{V}_{S.ADE}}}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{9.\frac{{{a}^{3}}}{36}}{\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\)

Chọn D.