Đồ thị hàm số \(y=\sqrt{4{{x}^{2}}+4x+3}-\sqrt{4{{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\): Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\,\) hoặc\(\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\Rightarrow y=a\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Nhân chia biểu thức liên hợp để biến đổi hàm số và tính các giới hạn \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\) và \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\)

Giải chi tiết:

Tập xác định : \(D=\mathbb{R}\).

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {4 + \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}  + \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{4}{{2 + 2}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4 + \frac{2}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}  - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{4}{{ - 2 - 2}} =  - 1\end{array}\)

Vậy, đồ thị hàm số \(y=\sqrt{4{{x}^{2}}+4x+3}-\sqrt{4{{x}^{2}}+1}\) có 2 tiệm cận ngang là \(y=1,\,\,y=-1\).

Chọn: A.