Cho \(a\) là số thực dương. Biết \(F\left( x \righ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần tìm nguyên hàm của hàm số.

Giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {ax} \right)\\
dv = {e^x}\,{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = {e^x}
\end{array} \right.\)

suy ra \(\int{{{e}^{x}}\,\ln \left( ax \right)\,\text{d}x}={{e}^{x}}.\ln \left( ax \right)-\int{\frac{{{e}^{x}}}{x}\,dx}.\)

\(\Rightarrow \int{f\left( x \right)\,dx}=\int{{{e}^{x}}}\ln \left( ax \right)dx+\int{\frac{{{e}^{x}}}{x}dx}={{e}^{x}}.\ln \left( ax \right)+C\)

Do đó \(F\left( x \right)={{e}^{x}}.\ln \left( ax \right)+C\) mà 

\(\left\{ \begin{array}{l}
F\left( {\frac{1}{a}} \right) = 0\\
F\left( {2018} \right) = {e^{2018}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
C = 0\\
{e^{2018}}.\ln \left( {2018a} \right) = {e^{2018}}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
C = 0\\
\ln \left( {2018a} \right) = 1
\end{array} \right. \Rightarrow 2018a = e \Leftrightarrow a = \frac{e}{{2018}}.\)

Chọn A