Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, ch...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + c z + d = 0$ có bán kính $R = \sqrt{19}$ , đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 5 + t \\ y = - 2 - 4 t \\ z = - 1 - 4 t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P) : 3 x - y - 3 z - 1 = 0$ . Trong các số {a,b,c,d} theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn a + b + c + d = 43, đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d và (S) tiếp xúc với (P)?

A. {-6;-12;-14;75}

B. {6;10;20;7}

C. {-10;4;2;47}

D. {3;5;6;29}

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ta có $(S) : {(x + \frac{a}{2})}^{2} + {(y + \frac{b}{2})}^{2} + {(z + \frac{c}{2})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} - d$ có $I (- \frac{a}{2}; - \frac{b}{2}; - \frac{c}{2})$

Vì $I \in d \Rightarrow I (5 + t; - 2 - 4 t; - 1 - 4 t)$ và (S) tiếp xúc với (P) nên $d (I; (P)) = R$

$\frac{|3 . (5 + t) - (- 2 - 4 t) - 3 . (- 1 - 4 t) - 1|}{\sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \sqrt{19} \Leftrightarrow |t + 1| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 2 \end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} I (5; - 2; - 1) \\ I (3; 6; 7) \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} (a, b, c, d) = (- 10; 4; 2; 47) \\ (a, b, c, d) = (- 6; - 12; - 14; 75) \end{array}$

Thử lại với $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} - d = R^{2} = 19$ thì chỉ có trường hợp {-6;-12;-14;75} thỏa

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết !!

↑