Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác v...

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Do $SA\perp \left(ABC\right)$ nên góc giữ SC và $\left(ABC\right)$ là góc $\widehat{SCA}=60°$ 

Vì $\Delta ABC$ vuông tại B nên  $AC=5a\Rightarrow SA=5a\sqrt{3}$

Gọi N là trung điểm BC nên $MN//AB\Rightarrow AB//\left(SMN\right)$

 $d\left(AB,SM\right)=d\left(AB,\left(SMN\right)\right)=d\left(A,\left(SMN\right)\right).$

Từ A kẻ đường thẳng song song vơi BC cắt MN tại D.

Do $BC\perp AB\Rightarrow BC\perp MN\Rightarrow AD\perp MN.$ 

Từ A kẻ AH vuông góc vơi SD

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}MD\perp AD\\ MD\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow MD\perp \left(SAD\right)\Rightarrow MD\perp AH$

Mà $AH\perp SD\Rightarrow AH\perp \left(SMD\right)$ hay $AH\perp \left(smn\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SMN\right)\right)=AH$

Do $AD=BN=\frac{1}{2}BC=2a.$ 

Xét $\Delta SAD$ có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{75a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{79}{300a^2}$

  $\Rightarrow d\left(AB,SM\right)=AH=\frac{10\sqrt{237}a}{79}=\frac{10\sqrt{3}a}{\sqrt{79}}$