Trong không gian với hệ tọa...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$ và các điểm $A (1; 0; 2), B (- 1; 2; 2) .$ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng $a x + b y + c z + 3 = 0.$ Tính tổng T = a + b + c

A. 3

B. -3

C. 0

D. -2

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi J là hình chiếu vuông góc của I lên AB

$\begin{array}{l} \vec{A B} (- 2; 2; 0) \Rightarrow A B : \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{cases} \\ J \in A B \Rightarrow J (1 - t; t; 2) \Rightarrow \vec{IJ} (- t; t - 2; - 1) \\ \vec{IJ} . \vec{A B} = 0 \Leftrightarrow 2 t + 2 t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow J (0; 1; 2) \end{array}$

Thiết diện của (P) với (S) có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi $d (I; (P)) = d (I; A B) = IJ$

Vậy (P) là mặt phẳng đi qua J và có VTPT $\vec{IJ}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (P) : x + (y - 1) + (z - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow - x - y - z + 3 = 0 \\ \Rightarrow T = - 3 \end{array}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tuyển chọn đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay, chọn lọc !!

↑