Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

$\begin{array}{l}{\log }_3\frac{2x+y+1}{x+y}=x+2y\iff {\log }_3\left(2x+y+1\right)-{\log }_3\left(x+y\right)=3\left(x+y\right)-\left(2x+y+1\right)+1\\ \iff {\log }_3\left(2x+y+1\right)+2x+y+1={\log }_3\left[3\left(x+y\right)\right]+3\left(x+y\right)\left(*\right)\end{array}$

Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_{3}t+t$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)\Rightarrow f\left(t\right)$ là hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ 

Mà $\left(*\right)\iff f\left(2x+y+1\right)=f\left(3x+3y\right)\iff 2x+y+1=3x+3y\iff x+2y=1$ 

Đặt $a=\sqrt{y}>0\iff y=a^2\iff x=1-2y=1-2a^2,$ khi đó $T=g\left(a\right)=\frac{1}{1-2a^2}+\frac{2}{a}$ 

Xét hàm số $g\left(a\right)=\frac{1}{1-2a^2}+\frac{2}{a}$trên khoảng $\left(0;\frac{1}{\sqrt{2}}\right),$ suy ra $\underset{\left(0;\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{\min }g\left(a\right)=6$ 

Vậy  giá trị nhỏ nhất cần tìm là $T_{\min }=6$