Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là t...

A

- Hướng dẫn giải

Chọn điểm E thuộc đoạn AB sao cho EB = 2EA  $\Rightarrow 2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}.$

Chọn điểm F thuộc đoạn AB sao cho FA = 2FB $\Rightarrow 2\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{0}.$

Ta có 

$\begin{array}{l}\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\\ \iff \left|2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}\right|=\left|\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{FB}\text{}\right|\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \left|3\overrightarrow{ME}+\underset{\overrightarrow{0}}{\underbrace{2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}}}\right|=\left|3\overrightarrow{MF}+\underset{\overrightarrow{0}}{\underbrace{\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{FB}}}\right|\\ \iff \left|3\overrightarrow{ME}\right|=\left|3\overrightarrow{MF}\right|\iff ME=MF.\end{array}(*)$

Vì E ; F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức (*) suy ra tập hợp các điểm M là trung trực của đoạn thẳng EF.

Gọi I là trung điểm của AB suy ra I cũng là trung điểm của EF

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn $\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|$ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Chọn A.