Cho số thực

C

- Hướng dẫn giải

Đặt $I_a={\int }_a^{\ln \left(10\right)}\frac{e^x}{\sqrt[3]{e^a-2}}dx$

Đặt $t=\sqrt[3]{e^a-2}\Rightarrow t^3=e^x-1\Rightarrow 3t^{2}dt=e^{x}dx$

Đổi cận $x=a\Rightarrow t=\sqrt[3]{e^a-1};x=\ln \left(10\right)\Rightarrow t=3$

Khi đó 

$$\begin{gathered} I={\int }_{\sqrt[3]{e^a-1}}^2\frac{3t^{2}dt}{t}=3 \\ {\int }_{\sqrt[3]{e^a-1}}^{2}tdt=\frac{3}{2}{t^2}_{\sqrt[3]{e^a-1}}^2 \\ =\frac{3}{2}\left[4-{\left(e^a-2\right)}^{\frac{2}{3}}\right] \end{gathered}$$

Vậy $\underset{x\to \ln \left(2\right)}{\lim }{I}_a=\frac{3}{2}.4=6$

Đáp án C