Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Ta có $AD//BC,AD\notin \left(SBC\right),BC\subset \left(SBC\right)\Rightarrow AD//\left(SBC\right)$ 

$\Rightarrow d(AD;SC)=d(AD;(SBC\left)\right)=d(D;(SBC\left)\right)$.

Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.

Suy ra $IH\perp CD$ 

Từ $CD\perp IH,CD\perp SI\Rightarrow CD\perp \left(SIH\right)\Rightarrow CD\perp SH$.

Suy ra  $\left(\stackrel{⏜}{\left(SCD\right),\left(ABCD\right)}\right)=\left(\stackrel{⏜}{SH,IH}\right)=\stackrel{⏜}{SHI}\Rightarrow CD\perp SH$

$SI=HI.\tan \stackrel{⏜}{SHI}=a.\tan 60°=a\sqrt{3}\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

Lại có $V_{S.BCD}=\frac{1}{3}.S_{∆SBC}.d(D;(SBC\left)\right)\Rightarrow d(D;(SBC)=\frac{3V_{S.BCD}}{S_{∆SBC}}$ (1)

Từ $IB=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}a\Rightarrow SB=\sqrt{S{I}^2+I{B}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{2a}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{31}}{3}$.

Từ $BC\perp AB,BC\perp SI\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\Rightarrow ∆SBC$ vuông tại B.

Suy ra $S_{∆SBC}=\frac{1}{2}SB.SC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{31}}{3}.a=\frac{a^2\sqrt{31}}{6}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra  $d(D;(SBC\left)\right)=\frac{3{\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{6}}}{{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{31}}{6}}}=\frac{3a\sqrt{3}}{\sqrt{31}}=\frac{3\sqrt{39}}{31}a$

Vậy $d(AD;SC)=d(D;(SBC\left)\right)=\frac{3\sqrt{93}}{31}a$