Cho các số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn hệ thứ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa về đánh giá tổng các bình phương qua bất đẳng thức Bunhiacopxki

Giải chi tiết:

Ta có \(4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}-8x-24y-8z+35=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}-6y+9+{{z}^{2}}-2z+1=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{9}{4}\). Lại có \(P=\left| 2x-y+2z+5 \right|=\left| 2\left( x-1 \right)-\left( y-3 \right)+2\left( z-1 \right)+6 \right|\)

Khi đó \({{\left[ 2\left( x-1 \right)-\left( y-3 \right)+2\left( z-1 \right) \right]}^{\,2}}\le \left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right).\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}} \right]=\frac{81}{4}.\)

Suy ra \(-\,\frac{9}{2}\le 2\left( x-1 \right)-\left( y-3 \right)+2\left( z-1 \right)\le \frac{9}{2}\Leftrightarrow \frac{3}{2}\le 2\left( x-1 \right)-\left( y-3 \right)+2\left( z-1 \right)+6\le \frac{21}{2}\).

Vậy \(P=\left| 2\left( x-1 \right)-\left( y-3 \right)+2\left( z-1 \right)+6 \right|\ge \frac{3}{2}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{{P}_{\min }}=\frac{3}{2}.\)

Chọn C