Tìm m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - \lef...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Nhận xét tam giác tạo thành bởi 3 điểm cực trị là tam giác cân, tính diện tích tam giác cân đó.

Giải chi tiết:

\(y = {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + m \Rightarrow y' = 4{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{{m - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì \(\dfrac{{m - 1}}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 1\). Khi đó, giả sử tọa độ ba điểm cực trị là

\(A\left( {0;m} \right),\,\,B\left( { - \sqrt {\dfrac{{m - 1}}{2}} ; - \dfrac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right),\,\,C\left( {\sqrt {\dfrac{{m - 1}}{2}} ; - \dfrac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right)\,\)

Dễ dàng chứng minh tam giác ABC cân tại A, gọi \(H\left( {0; - \dfrac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right)\) là trung điểm của BC, khi đó:

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\left| { - \dfrac{{{m^2} - 6m + 1}}{4} - m} \right|.2\sqrt {\dfrac{{m - 1}}{2}}  = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{{m^2} - 2m + 1}}{4}} \right|\sqrt {\dfrac{{m - 1}}{2}}  = 1\\ \Rightarrow {\left( {m - 1} \right)^2}.\sqrt {m - 1}  = 4\sqrt 2  \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {m - 1} } \right)^5} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\\ \Leftrightarrow \sqrt {m - 1}  = \sqrt 2  \Leftrightarrow m - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 3\end{array}\)

Chọn: D