Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho \(A\left(...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1)  \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;0),\overrightarrow {AC}  = (1;3)\)

Ta có \(\frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{0}{3}\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

Vậy A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử \(D\left( {x;\,\,y} \right).\)  Vì \(ABCD\)  là hình bình hành nên ta có:

  \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left( { - 1;0} \right) = \left( {3 - x;4 - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x =  - 1\\4 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 4\end{array} \right.\end{array}\)

 Vậy \(D\left( {4;\,\,4} \right).\)

2) 

\(N \in Oy \Rightarrow N(0;{y_N})\)

\(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + 4\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  + 3\overrightarrow {NC} \)

 \( = 3\overrightarrow {NG}  + 3\overrightarrow {NC} \) (với \(G\)  là trọng tâm \(\Delta ABC\))

 \( = 3\left( {\overrightarrow {NG}  + \overrightarrow {NC} } \right)\)

 \( = 6\overrightarrow {NI} \) (với I là trung điểm của \(GC\)).

Ta có \(G\left( {2;2} \right),I\left( {\frac{5}{2};3} \right)\).

\(\left| {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + 4\overrightarrow {NC} } \right| = \left| {6\overrightarrow {NI} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {NI} } \right| = 6NI.\)

\(\left| {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + 4\overrightarrow {NC} } \right|\) nhỏ nhất khi \(NI\)  nhỏ nhất

     \( \Leftrightarrow N\)  là hình chiếu của \(I\)  trên \(Oy.\)

     \( \Leftrightarrow N\left( {0;\,\,3} \right).\)