Với \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{n}^{1}+...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức chỉnh hợp \(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\) giải phương trình tìm n.

+) Thay n vào và sử dụng khai triển của nhị thức Newton \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\)

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(n\in {{N}^{*}};\ \ n\ge 2.\)

Theo đề bài ta có: \(C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=55\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!.\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} = 55\\
\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} = 55\\
\Leftrightarrow 2n + n\left( {n - 1} \right) = 110\\
\Leftrightarrow {n^2} + n - 110 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 10\;\;\left( {tm} \right)\\
n = - 11\;\;\left( {ktm} \right).
\end{array} \right.
\end{array}\)

Ta có khai triển: \({{\left( {{x}^{3}}+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{x}^{3k}}{{.2}^{10-k}}.{{\left( {{x}^{-2}} \right)}^{10-k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{2}^{10-k}}.{{x}^{5k-20}}.}\)

Để có hệ số không chứa x thì: \(5k-20=0\Leftrightarrow k=4.\)

Hệ số không chứa x là: \(C_{10}^{4}{{.2}^{6}}=13440.\)

Chọn D.