Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + \left( {m + 2} \r...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số. Tìm điều kiện của \(m\) để (*) có hai nghiệm phân biệt. 

Áp dụng hệ thức Vi-ét để làm bài toán.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và (d) là:

\(\dfrac{{{x^2} + \left( {m + 2} \right)x - m}}{{x + 1}} =  - x - 4 \Leftrightarrow g\left( x \right) = 2{x^2} + \left( {m + 7} \right)x - m + 4 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Đường thẳng (d) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\)tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 7} \right)^2} + 8\left( {m - 4} \right) > 0\\2 - \left( {m + 7} \right) - m + 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 22m + 17 > 0\\m \ne  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m >  - 11 + 2\sqrt {26} \\m <  - 11 - 2\sqrt {26} \end{array} \right.\\m \ne  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm của pt (*), khi đó ta có: \(M\left( {{x_1}; - {x_1} - 4} \right)\) và \(N\left( {{x_2}; - {x_2} - 4} \right)\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{{m + 7}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{4 - m}}{2}\end{array} \right.\).

Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow I\left( {\dfrac{{ - m - 7}}{4};\dfrac{{m - 9}}{4}} \right)\).

Hai giao điểm M và N của (d) và \(\left( {{C_m}} \right)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\) \( \Leftrightarrow \) I thuộc đường thẳng \(y = x\) ..

Chọn A.