Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(A...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, với gốc tọa độ O trùng với trung điểm của BC

Giải chi tiết:

Hình vẽ tham khảo

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\), \(BC=a\sqrt{3}\), \(AH=\frac{a}{2}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(H\left( 0;0;0 \right)\), \(A\left( \frac{a}{2};0;0 \right)\), \(B\left( 0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0 \right)\), \(C\left( 0;-\frac{a\sqrt{3}}{2};0 \right)\),

Và \(M\left( 0;0;a \right)\), \(N\left( 0;-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng\(\left( AMN \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).

Mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) có một vtpt \(\vec{n}=\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN} \right]\)\(=\left( \frac{\sqrt{3}}{2};\frac{-1}{4};\frac{\sqrt{3}}{4} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) có một vtpt \(\overrightarrow{HM}\)\(=\left( 0;0;1 \right)\), từ đó \(\cos \varphi =\frac{\left| \vec{n}.\overrightarrow{HM} \right|}{\left| {\vec{n}} \right|HM}\)\(=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{1.1}\)\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\).

Chọn D