Cho hai phương trình \(4{x^2} -...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giả sử phương trình có nghiệm chung. Thay nghiệm đó vào hai phương trình, đồng nhất hai vế giải tìm điều kiện.

Giải chi tiết:

+) Xét phương trình: \(4{x^2} - \left( {3m + 2} \right)x + 12 = 0\) có  \(\Delta  = {\left( {3m + 2} \right)^2} - 4.4.12 = 9{m^2} + 12m - 188.\)

Phương trình có nghiệm  \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 9{m^2} + 12m - 188 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \frac{{ - 2 + 8\sqrt 3 }}{3}\\m \le \frac{{ - 2 - 8\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right..\)

+) Xét phương trình: \(5{x^2} - \left( {9m - 2} \right)x + 36 = 0\) có\(\Delta  = {\left( {9m - 2} \right)^2} - 4.5.36 = 81{m^2} - 36m - 716.\)

Phương trình có nghiệm  \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 81{m^2} - 36m - 716 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \frac{{2 + 12\sqrt 5 }}{9}\\m \le \frac{{2 - 12\sqrt 5 }}{9}\end{array} \right.\)

Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là \({x_0}\) Ta có:

\(\begin{array}{l}4x_0^2 - (3m + 2){x_0} + 12 = 0\,\,\,;\,\,\,4x_0^2 - (9m - 2){x_0} + 36 = 0\\ \Rightarrow {\rm{[}}4x_0^2 - (9m - 2){x_0} + 36{\rm{]}} - {\rm{[4}}x_0^2 - (3m + 2){x_0} + 12{\rm{]}} = 0\\ \Leftrightarrow (4 - 6m){x_0} + 24 = 0\\ \Leftrightarrow (2 - 3m){x_0} + 12 = 0\\ \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{12}}{{2 - 3m}}\end{array}\)

Hai phương trình có nghiệm chung là \({x_0} = \frac{{12}}{{2 - 3m}}\,\,\,\left( {m \ne \frac{2}{3}} \right)\) nên:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,4.\frac{{144}}{{{{(2 - 3m)}^2}}} - (3m + 2)\frac{{12}}{{2 - 3m}} + 12 = 0\\ \Leftrightarrow 4.144 - 12(3m + 2)(2 - 3m) + 12{(2 - 3m)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 576 + 12(9{m^2} - 4) + 12(4 - 12m + 9{m^2}) = 0\\ \Leftrightarrow 216{m^2} - 144m + 576 = 0a\end{array}\)

Ta có:  \({\Delta'} = {12^2} - 216.576 =  - 124272 < 0\)

Phương trình vô nghiệm.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.