Nghiệm của phương trình: \({x^2} + 4x + \sqrt {{x^...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trước tiên, ta tìm điều kiện để biểu thức trong căn có nghĩa. Tiếp theo, ta  áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 4x + 9} \) \(\left( {t \ge \sqrt 5 } \right)\), Khi tìm được giá trị của \(t\) ta thay ngược lại để tìm \(x\).

Giải chi tiết:

\({x^2} + 4x + \sqrt {{x^2} + 4x + 9}  = 3\) (*)

Đk: \({x^2} + 4x + 9 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 5 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + 5 \ge 0\) luôn đúng với \(\forall x\).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 4x + 9}  = \sqrt {{x^2} + 4x + 4 + 5}  = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 5}  \ge \sqrt 5 \,\,\,\,\left( {t \ge \sqrt 5 } \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 9 + t = 3\\\Leftrightarrow {t^2} + t - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 4} \right)\left( {t - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 4 = 0\\t - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(t = 3\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + 4x + 9}  = 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 9 = 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 4\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: \(x = 0\) và \(x =  - 4.\)

Chọn B.