Cho phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\). Tìm...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1}\)  và \({x_2}\)  (\(\Delta  \ge 0\)).

-          Ta biến đổi biểu thức \(M = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}}\) về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được m để M đạt giá trị lớn nhất.

-          Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

Xét phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) có:

\(\Delta  = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2}\)

Để phương trình trên có hai nghiệm thì  \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:   \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = m  \cr {x_1}{x_2} = m - 1\cr}  \right.\) (1)

Theo đề bài ta có:  \(M = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over {x_1^2 + x_1^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}}.\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thế (1) vào (2) ta được:

\(\eqalign{& M = {{2\left( {m - 1} \right) + 3} \over {{m^2} + 2}} = {{2m + 1} \over {{m^2} + 2}} = {{{m^2} + 2 - {m^2} + 2m - 1} \over {{m^2} + 2}} = 1 - {{{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over {{m^2} + 2}} \le 1  \cr &  \Rightarrow Max\,\,M = 1. \cr} \)

Dấu “=” xảy ra  \( \Leftrightarrow {{{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over {{m^2} + 2}} = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)

Chọn A.