Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương tr...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Cô lập tham số m, đưa về khảo sát hàm số để biện luận nghiệm của phương trình 

Giải chi tiết:

Ta có \({{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{{{\cos }^{2}}x}}=m{{.3}^{{{\sin }^{2}}x}}\Leftrightarrow {{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{1\,-\,\,{{\sin }^{2}}x}}=m{{.3}^{{{\sin }^{2}}x}}\Leftrightarrow m={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{1\,-2\,{{\sin }^{2}}x}}\) \(\left( * \right).\)

Đặt \(t={{\sin }^{2}}x\in \left[ 0;1 \right],\) khi đó \(\left( * \right)\) trở thành: \(m={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}+{{3}^{1\,-2\,t}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}+3.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2t}}.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}+3.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2t}}\) trên \(\left[ 0;1 \right],\) có \({f}'\left( t \right)={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}.\ln \frac{2}{3}+6.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2t}}.\ln \frac{1}{3}<0.\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;1 \right]\)\(\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{align} & \min f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=1 \\ & \max f\left( t \right)=f\left( 0 \right)=4 \\ \end{align} \right..\)

Do đó, để phương trình \(m=f\left( t \right)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow \,1\le m\le 4.\)

Lại có \(m\in Z\Rightarrow M\in \left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4 \right\}\)

Chọn B