Chóp \(S.ABCD\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

+ Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OG \subset \left( {SMN} \right)\\\left( {SMN} \right)\parallel AD\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {OG;AD} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\).

+ Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AB\\MN \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow MN \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot MN\\AH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH\end{array}\).

+ \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

+ Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAC:\,\,SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}}  = a\).

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAM\) có:

\(AH = \dfrac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \(d\left( {OG;AD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn A.