Đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} - m - 1\) có ba đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC cân, giả sử cân tại A, có chứa góc 120⁰ \( \Rightarrow \widehat {BAC} = {120^0}\), tính các cạnh của tam giác ABC và sử dụng công thức định lí cosin trong tam giác.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   {x^2} = m \hfill \cr}  \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\)

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \Rightarrow y =  - m - 1 \Rightarrow A\left( {0; - m - 1} \right) \hfill \cr   x = \sqrt m  \Rightarrow y =  - {m^2} - m - 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - {m^2} - m - 1} \right) \hfill \cr   x =  - \sqrt m  \Rightarrow y =  - {m^2} - m - 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} - m - 1} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Tam giác \(ABC\) cân tại A có \(AB = AC = \sqrt {m + {m^4}} ,\,\,BC = 2\sqrt m \), tồn tại góc \({120^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = {120^0}\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \cos \widehat {BAC} = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {2AB.AC}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{ - 1} \over 2} = {{2m + 2{m^4} - 4m} \over {2\left( {m + {m^4}} \right)}}  \cr   &  \Leftrightarrow  - \left( {m + {m^4}} \right) = 2{m^4} - 2m  \cr   &  \Leftrightarrow m = 3{m^4}  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   {m^3} = {1 \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow m = {1 \over {\root 3 \of 3 }}\,\,\left( {tm} \right) \cr} \)

Chọn A.