Cho phương trình: \({{x}^{2}}+2\left( m+2 \right)x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay \(m=2\) vào phương trình sau đó giải phương trình bậc hai một ẩn.

b) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right..\)

+) Biến đổi biểu thức đề bài cho kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm \(m:\ \ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}.\)

Giải chi tiết:

a) Khi \(m=2\) thì phương trình có dạng: \({{x}^{2}}+8x+7=0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} + x + 7x + 7 = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) + 7\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 7} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
x + 7 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = - 7
\end{array} \right..
\end{array}\)

b) Phương trình (1) có \(\Delta '={{\left( m+2 \right)}^{2}}-4m+1={{m}^{2}}+4m+4-4m+1={{m}^{2}}+5>0\)

Do đó phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2\left( m+2 \right) \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=4m-1 \\ \end{align} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}
x_1^2 + x_2^2 = 30 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 30 \Leftrightarrow 4{\left( {m + 2} \right)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 30\\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 16m + 16 - 8m + 2 = 30 \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy  \(m=-1\) hoặc \(m=3.\)

Chọn A