Cho \(a,b>0,\,\,a+b=1.\) Giá trị lớn nhất của \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Ta cần áp dụng bất đẳng thức Cô-si để đưa tích \({{a}^{2}}{{b}^{4}}\) về tổng có liên quan tới \(a+b=1.\) Ta phân tích \({{a}^{2}}{{b}^{4}}={{\left( a{{b}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( 4.a.\frac{b}{2}.\frac{b}{2} \right)}^{2}}\) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a,\frac{b}{2},\frac{b}{2}\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta cần áp dụng bất đẳng thức Cô-si để đưa tích \({{a}^{2}}{{b}^{4}}\) về tổng có liên quan tới \(a+b=1.\) Ta phân tích \({{a}^{2}}{{b}^{4}}={{\left( a{{b}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( 4.a.\frac{b}{2}.\frac{b}{2} \right)}^{2}}\) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a,\frac{b}{2},\frac{b}{2}\) ta nhận được

\(a{{b}^{2}}=4a.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}\le 4{{\left( \frac{a+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}}{3} \right)}^{3}}=4{{\left( \frac{a+b}{3} \right)}^{3}}=\frac{4}{27}.\)

Do đó \(P={{\left( a{{b}^{2}} \right)}^{2}}\le {{\left( \frac{4}{27} \right)}^{2}}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{2}\\a + b = 1\\a,b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = b\\3a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{array} \right..\)

Chọn đáp án C.