Tìm hệ số của x5 trong khai triển \({{\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích đa thức \(1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\) thành nhân tử.

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}.{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}}\)

Giải chi tiết:

\({{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}={{\left[ \left( 1+x \right)+{{x}^{2}}\left( 1+x \right) \right]}^{10}}={{\left[ \left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+x \right) \right]}^{10}}\)

Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:

\({{\left[ \left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+x \right) \right]}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{2k}}}.\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{m}.{{x}^{m}}}\,\,\left( k,m\in Z \right)\)

Để tìm hệ số của x⁵ ta cho \(2k+m=5\Leftrightarrow \left( k;m \right)\in \left\{ \left( 0;5 \right);\left( 1;3 \right);\left( 2;1 \right) \right\}\).

Vậy hệ số của \({{x}^{5}}\) là : \(C_{10}^{0}.C_{10}^{5}+C_{10}^{1}.C_{10}^{3}+C_{10}^{2}.C_{10}^{1}=1902\)

Chọn C.