Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biế...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Kẻ \(OK\bot SC\,\,\left( K\in SC,O=AC\cap BD \right)\Rightarrow d\left( BD;SC \right)=OK\)

+) Trong tam giác SHC kẻ \(HM\bot SC\,\,\left( M\in SC \right)\), tính HM.

+) Áp dụng định lí Ta lét (HM // OK) \(\Rightarrow \) tỉ số \(\frac{OK}{HM}\Rightarrow OK\).

Giải chi tiết:

Gọi \(O=AC\cap BD,\) H là tâm của tam giác đều ABD, SABD là tứ diện đều

\(\Rightarrow SH\bot \left( ABD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{align}  & BD\bot SH\,\,\left( SH\bot \left( ABCD \right) \right) \\  & DB\bot AC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\)

Trong (SAC) kẻ \(OK\bot SC\,\,\left( K\in SC \right)\Rightarrow OK\bot BD\)

Do đó OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC \(\Rightarrow d\left( BD;SC \right)=OK\)

Tam giác ABD đều cạnh a

\(\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(AH=\frac{2}{3}AO=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC=\frac{1}{3}AC\Rightarrow HC=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}.2AO=\frac{4}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)

Trong tam giác vuông SHC kẻ \(HM\bot SC\,\,\left( M\in SC \right)\) ta có:

\(HM=\sqrt{\frac{S{{H}^{2}}.H{{C}^{2}}}{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}.{{\left( \frac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}}=\frac{2a}{3}\)

Ta có \(OH=\frac{1}{3}AO=\frac{1}{3}OC\Rightarrow \frac{CO}{CH}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{OK}{HM}=\frac{CO}{CH}=\frac{3}{4}\left( Ta-let \right)\Rightarrow OK=\frac{3}{4}HM=\frac{a}{2}\)

Chọn B.