Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 4}}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Làm xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\) sau đó đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Ta có : \(\left( {x\sin x + \cos x} \right)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{{x^2}} \over {{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{{x \over {\cos x}}.x\cos x} \over {{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dv} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = {x \over {\cos x}} \hfill \cr   {\rm{d}}v = {{x\cos x} \over {{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {{x\sin x + \cos x} \over {{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x \hfill \cr   v =  - {1 \over {x\sin x + \cos x}} \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó

\(\eqalign{  & I = \left. { - {x \over {\cos x}}.{1 \over {x\sin x + \cos x}}} \right|_0^{{\pi  \over 4}} + \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{{\rm{d}}x} \over {{{\cos }^2}x}}}  =   \cr   &  = {{ - {\pi  \over 4}} \over {{{\sqrt 2 } \over 2}}}.{1 \over {{\pi  \over 4}{{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}}} + \left. {\tan x} \right|_0^{{\pi  \over 4}}  \cr   &  = {{ - {\pi  \over 4}} \over {{1 \over 2}\left( {{\pi  \over 4} + 1} \right)}} + 1 = {{ - 2\pi } \over {\left( {\pi  + 4} \right)}} + 1 = {{4 - \pi } \over {4 + \pi }} \Rightarrow m = 4 \cr} \).

Chọn C.